勉強中の数学メモ1
2021.05.22
このところ少し数学の勉強をしていて、備忘録的にメモっておいたことや、なんとなく思いついたことなどを書き溜めるうちにけっこうな分量になったので、物の役には立たないでしょうが公開してみます。あくまで勉強中のメモで、どの程度正しい理解なのか私は知りません。

Aを行列、xとbを列ベクトルとして
A*x=bならば
A^-1*A*x=A^-1*b
x=A^-1*b
という演算ができる。線型方程式がn個の変数を持ちn本の一次方程式からなるとき、それらを行列表示したものをAとすると正方行列になるが、Aが正則である(逆行列をもつ)ならば、ベクトルxのi番目の成分xiは、Aのi列をbに置き換えた行列をAiとして、
xi=det(Ai)/det(A)
と一意に解くことができ、クラメールの規則とかクラメルの公式などと呼ばれる。

A^-1を求めるとき、実用上は掃き出し法などの方が計算量の増加が穏やかだが、余因子展開の方が原理がわかりやすい。Aのi行めとj列めを除いた行列をAijと書き、余因子Δijを
Δij=(−1)^(i+j)*det(Aij)
と定義する。この余因子を要素とするi行j列の行列をA^(流儀によってはC)、それを転置したものをA~(余因子行列)として、ライプニッツの明示公式から行列式の多重線型性を確認すれば、
A^-1=(1/det(A))*A~
が成り立つことがわかる。

n個の関数(実関数でも複素関数でもよい)f1,f2...,fnが区間I上でn−1階微分可能とするとき、f1の0~n-1階微分を縦に並べた列ベクトルf1(x),f2の0~n-1階微分を縦に並べた列ベクトルf2(x)...,fnの0~n-1階微分を縦に並べた列ベクトルfn(x)を横に並べて作った行列(i行j列成分が、fjのi-1階微分になる)の行列式をロンスキー行列式W(f1,f2...,fn)という。ロンスキー行列式(ロンスキアン)が「恒等的に0」でないとき、f1,f2...,fnからなる関数族は線形独立な解をもつ。厳密な証明はさておき、拡大係数行列で連立方程式を解く操作を確認すれば、おそらくそうなのだという納得はできよう。関数族が線形従属である条件は難しいようで、ペアノなどが考察を与えているらしい。

-シリーズリンク-
次のメモ
2021.05.22 23:18 | 固定リンク | 配布・公開

- CafeLog -